MATEMÁTICAS 2

Semestre 2013-A

UTILIZAS ÁNGULOS, TRIÁNGULOS Y RELACIONES MÉTRICAS.

Ángulos:

*Por su abertura.

*Por la posición entre dos rectas paralelas y una secante (transversal).

En geometría euclidiana, los ángulos entre paralelas son los ocho ángulos formados por dos rectas paralelas y una transversal a ellas. Se clasifican según su congruencia.

Ángulos correspondientes

Las parejas de ángulos: <1 y <5; <2 y <6; <4 y <8; <3 y <7 se llaman ángulos correspondientes, y son congruentes.

Alternos externos

Las parejas de ángulos: <1 y <7; <2 y <8 se llaman ángulos alternos externos, y son congruentes.

Alternos internos

Las parejas de ángulos: <4 y <6; <3 y <5 se llaman ángulos alternos internos, y son congruentes.

*Por la suma de sus medidas

Ángulos complementarios o suplementarios

Dos ángulos son complementarios si la suma de sus ángulos es igual a 90^o.
Si conocemos un ángulo, su ángulo complementario se puede encontrar restando la medida del mismo a 90^o.

Ejemplo: ¿Cuál es el ángulo complementario de 43^o?
Solución: 90^o - 43^o = 47^o

Dos ángulos son suplementarios si la suma de sus grados es igual a 180^o.
Si conocemos un ángulo, su ángulo suplementario se puede averiguar restando la medida del mismo a 180^o.

Ejemplo: ¿Cuál es el ángulo suplementario de 143^o?
Solución: 180^o - 143^o = 37^o

EJERCICIOS:

Resuelve:

Triángulos.

Clasificación de los triángulos

Los triángulos se pueden clasificar por la relación entre las longitudes de sus lados o por la amplitud de sus ángulos.

Por las longitudes de sus lados

Por las longitudes de sus lados, todo triángulo se clasifica:

Como triángulo equilátero, cuando los tres lados del triángulo son del mismo tamaño (los tres ángulos internos miden 60 grados)
Como triángulo isósceles, si tiene dos lados de la misma longitud. Los ángulos que se oponen a estos lados tienen la misma medida. (Tales de Mileto, filósofo griego, demostró que un triángulo isósceles tiene dos ángulos iguales, estableciendo así una relación entre longitudes y ángulos; a lados iguales, ángulos iguales ).
Como triángulo escaleno, si todos sus lados tienen longitudes diferentes (en un triángulo escaleno no hay dos ángulos que tengan la misma medida).


Equilátero	Isósceles	Escaleno

Por la amplitud de sus ángulos

Por la amplitud de sus ángulos los triángulos se clasifican en:

Triángulos

Rectángulos

Oblicuángulos

Obtusángulos

Acutángulos

Triángulo rectángulo: si tiene un ángulo interior recto (90°). A los dos lados que conforman el ángulo recto se les denomina catetos y al otro lado hipotenusa.
Triángulo oblicuángulo: cuando ninguno de sus ángulos interiores son rectos (90°). Por ello, los triángulos obtusángulos y acutángulos son oblicuángulos.
Triángulo obtusángulo: si uno de sus ángulos interiores es obtuso (mayor de 90°); los otros dos son agudos (menores de 90°).
Triángulo acutángulo: cuando sus tres ángulos interiores son menores de 90°. El triángulo equilátero es un caso particular de triángulo acutángulo.


Rectángulo	Obtusángulo	Acutángulo
	$\underbrace{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad}_{}$
	Oblicuángulos

Clasificación según los lados y los ángulos

Los triángulos acutángulos pueden ser:

Triángulo acutángulo isósceles: con todos los ángulos agudos, siendo dos iguales, y el otro distinto. Este triángulo es simétrico respecto de su altura.

Triángulo acutángulo escaleno: con todos sus ángulos agudos y todos diferentes, no tiene eje de simetría.

Triángulo acutángulo equilátero: sus tres lados y sus tres ángulos son iguales; las tres alturas son ejes de simetría (dividen al triángulo en dos triángulos iguales).

Los triángulos rectángulos pueden ser:

Triángulo rectángulo isósceles: con un ángulo recto y dos agudos iguales (de 45° cada uno), dos lados son iguales y el otro diferente: los lados iguales son los catetos y el diferente es la hipotenusa. Es simétrico respecto a la altura de la hipotenusa, que pasa por el ángulo recto.

Triángulo rectángulo escaleno: tiene un ángulo recto, y todos sus lados y ángulos son diferentes.

Los triángulos obtusángulos pueden ser:

Triángulo obtusángulo isósceles: tiene un ángulo obtuso, y dos lados iguales que son los que forman el ángulo obtuso; el otro lado es mayor que éstos dos.

Triángulo obtusángulo escaleno: tiene un ángulo obtuso y todos sus lados son diferentes.

Triángulo	equilátero	isósceles	escaleno
acutángulo
rectángulo
obtusángulo

COMPRENDES LA CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS.
CRITERIOS DE CONGRUENCIA.

L,L,L (lado, lado, lado)

Regla de congruencia de los triángulos que establece que cuando los tres lados de un triángulo son congruentes con los tres lados correspondientes de otro triángulo, los dos triángulos son congruentes.

L,A,L (lado, ángulo, lado)

Regla de congruencia de los triángulos que establece que cuando dos lados y el ángulo incluido entre ellos de un triángulo son congruentes con los dos lados correspondientes y el ángulo incluido entre ellos de otro triángulo, los dos triángulos son congruentes.

A,L,A, (ángulo, lado, ángulo)

Regla de congruencia de los triángulos que establece que cuando dos ángulos y el lado incluido entre ellos en un triángulo son congruentes con los dos ángulos correspondientes y el lado incluido de otro triángulo, los triángulos son congruentes.

RESUELVES PROBLEMAS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS, TEOREMA DE PITAGORAS Y DE TALES.

Criterios de semejanza
Para comprender mejor revisa el siguiente video:

Comprendiendo y oyendo bien el video anterior, resulve junto con el tutor las siguientes actividades:

Fórmulas del teorema de Thales y semejanza de triángulos

Teorema de Thales

Si dos rectas cuales quieras se cortan por varias rectas paralelas, los segmentos determinados en una de las rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra.

Semejanza de triángulos

Criterios de semejanza de triángulos

1Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales.

2 Dos triángulos son semejantes si tienen los lados proporcionales.

3 Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos igual.

Criterios de semejanza de triángulos rectángulos

1Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen un ángulo agudo igual.

2Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen los dos catetos proporcionales.

3Los triángulos son semejantes si tienen proporcionales la hipotenusa y un cateto.

Teorema de Pitágoras

El teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Empleo del teorema de Pitágoras

Conociendo los lados de un triángulo, averiguar si es rectángulo

Para que un triángulo sea rectángulo el cuadrado de lado mayor ha de ser igual a la suma de los cuadrados de los dos menores.

Determinar si el triángulo es rectángulo.

Conociendo los dos catetos calcular la hipotenusa

Los catetos de un triángulo rectángulo miden en 3 m y 4 m respectivamente. ¿Cuánto mide la hipotenusa?

Conociendo la hipotenusa y un cateto, calcular el otro cateto

La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 5 m y uno de sus catetos 3 m. ¿Cuánto mide otro cateto?

Ejercicios

Una escalera de 10 m de longitud está apoyada sobre la pared. El pie de la escalera dista 6 m de la pared. ¿Qué altura alcanza la escalera sobre la pared?

Hallar el área del triángulo equilátero:

RECONOCES LAS PROPIEDADES DE LOS POLÍGONOS.

Polígonos

Un polígono es una figura plana con lados rectos.

¿Es un polígono?

Los polígonos son formas bidimensionales. Están hechos con líneas rectas, y su forma es "cerrada" (todas las líneas están conectadas).


Polígono (lados rectos)	No es un polígono (tiene una curva)	No es un polígono (abierto, no cerrado)

Tipos de polígonos

Simple o complejo

Un polígono simple sólo tiene un borde que no se cruza con él mismo. ¡Uno complejo se interseca consigo mismo!


Polígono simple (este es un pentágono)	Polígono complejo (también es un pentágono)

Cóncavo o convexo

Un polígono convexo no tiene ángulos que apunten hacia dentro. En concreto, los ángulos internos no son mayores que 180°.

Si hay algún ángulo interno mayor que 180° entonces es cóncavo. (Para acordarte: cóncavo es como tener una "cueva")


Convexo	Cóncavo

Regular o irregular

Si todos los ángulos son iguales y los lados también, es regular, si no es irregular


Regular	Irregular

Más ejemplos


Polígono complejo (un "polígono estrellado", en este caso un pentagrama)	Octágono cóncavo	Hexágono irregular

Nombres de polígonos

Nombre	Lados	Forma	Ángulo interior
		Si es regular...
Triángulo (o trígono)	3		60°
Cuadrilátero (o tetrágono)	4		90°
Pentágono	5		108°
Hexágono	6		120°
Heptágono (o Septágono)	7		128.571°
Octágono	8		135°
Nonágono (or eneágono)	9		140°
Decágono	10		144°
Endecágono (or undecágono)	11		147.273°
Dodecágono	12		150°
Tridecágono	13		152.308°
Tetradecágono	14		154.286°
Pentadecágono	15		156°
Hexadecágono	16		157.5°
Heptadecágono	17		158.824°
Octadecágono	18		160°
Eneadecágono	19		161.053°
Icoságono	20		162°
Triacontágono	30		168°
Tetracontágono	40		171°
Pentacontágono	50		172.8°
Hexacontágono	60		174°
Heptacontágono	70		174.857°
Octacontágono	80		175.5°
Eneacontágono	90		176°
Hectágono	100		176.4°
Chiliágono	1,000		179.64°
Miriágono	10,000		179.964°
Megágono	1,000,000		~180°
Googológono	10¹⁰⁰		~180°
n-ágono	n		(n-2) × 180° / n

Elementos y propiedades:

Elementos de un polígono

Lados

Los lados de un polígono son los segmentos que lo limitan.

Vértices

Los vérices de un polígono son los puntos donde concurren dos lados.

Ángulos interiores de un polígono

Los ángulos interiores de un polígono están determinados por dos lados consecutivos.

Suma de ángulos interiores de un polígono

n = número de lados de un polígono.

S = (n − 2) · 180°

Diagonal

Las diagonales de un polígono son los segmentos que unen dos vértices no consecutivos.

Número de diagonales de un polígono

n = número de lados de un polígono.

Número de diagonales = n · (n − 3) : 2

Ángulo central de un polígono regular

Es el formado por dos radios consecutivos.

Si n es el número de lados de un polígono:

Ángulo central = 360° : n

Ángulo central del pentágono regular= 360° : 5 = 72º

Ángulo central de una circunferencia

El ángulo central tiene su vértice en el centro de la circunferencia y sus lados son dos radios.

La medida de un arco es la de su ángulo central correspondiente.

Ángulos interiores de polígonos

Un ángulo interior es un ángulo dentro de una figura.

Triángulos

Los ángulos interiores de un triángulo suman 180°


90° + 60° + 30° = 180°	80° + 70° + 30° = 180°

¡En este triángulo es verdad!	Vamos a inclinar una línea 10° ... También funciona, porque un ángulo aumentó 10°, pero otro disminuyó 10°

Cuadriláteros (cuadrados, etc.)

(Un cuadrilátero es una figura de 4 lados)


90° + 90° + 90° + 90° = 360°	80° + 100° + 90° + 90° = 360°
Un cuadrado suma 360°	Vamos a inclinar una línea 10° ... ¡también suman 360°!
Los ángulos interiores de un cuadrilátero suman 360°

Porque en un cuadrado hay dos triángulos

Los ángulos interiores de este triángulo suman 180°

(90°+45°+45°=180°)

... y los de este cuadrado360°

... ¡porque el cuadrado está hecho de dos triángulos!

Pentágono

Un pentágono tiene 5 lados, y se puede dividir en tres triángulos, así que ...

... sus ángulos interiores suman 3 × 180° = 540°

Y si es regular (todos los ángulos son iguales), cada uno mide 540° / 5 = 108°

(Ejercicio: asegúrate de que cada triángulo aquí suma 180°, y comprueba que los ángulos interiores del pentágono suman 540°)

La regla general

Así que cada vez que añadimos un lado más (de triángulo a cuadrilátero, a pentágono, etc) sumamos otros 180°al total:

Figura	Lados	Suma de los ángulos interiores	Forma	Cada ángulo
			Si es regular...
Triángulo	3	180°		60°
Quadrilátero	4	360°		90°
Pentágono	5	540°		108°
Hexágono	6	720°		120°
...	...	..	...	...
Cualquier polígono	n	(n-2) × 180°		(n-2) × 180° / n

La última línea puede ser un poco difícil de entender, así que vamos a ver un ejemplo.

Ejemplo: ¿Qué pasa con un decágono (10 lados)?

Suma de los ángulos interiores = (n-2) × 180° = (10-2)×180° = 8×180° = 1440°

Y, si es regular, cada ángulo interior = 1440°/10 = 144°

Ángulos de un polígono regular

Ángulo central de un polígono regular

Es el formado por dos radios consecutivos.

Si n es el número de lados de un polígono:

Ángulo central = 360° : n

Ángulo central del hexágono regular= 360° : 6 = 60º

Ángulo interior de un polígono regular

Es el formado por dos lados consecutivos.

Ángulo interior =180° − Ángulo central

Ángulo interior del hexágono regular = 180° − 60º = 120º

Ángulo exterior de un polígono regular

Es el formado por un lado y la prolongación de un lado consecutivo.

Los ángulos exteriores e interiores son suplementarios, es decir, que suman 180º.

Ángulo exterior = Ángulo central

Ángulo exterior del hexágono regular = 60º

Área del triángulo

Hallar el área y el perímetro del siguiente triángulo:

P = 2 · 11 + 7.5 = 29.5 cm

Cuadrado

Ejemplo

Calcular el área y el perímetro de un cuadrado de 5 cm de lado.

A = 5² = 25 cm²

Rectángulo

Ejemplo

Calcular el área y el perímetro de un rectángulo de 10 cm de base y 6 cm de altura.

P = 2 · (10 + 6) = 32 cm

A = 10 · 6 = 60 cm²

Rombo

Ejemplo

Calcular el área y el perímetro de un rombo cuyas diagonales miden 30 y 16 cm, y su lado mide 17 cm.

P = 4 · 17 = 68 cm

Área del romboide

P = 2 · (a + b)

A = b · h

Ejemplo

Calcular el área y el perímetro de un romboide de 4 y 4.5 cm de lados y 4 cm de altura.

P = 2 · (4.5 + 4) = 17 cm

A = 4 · 4 = 16 cm²

Área del trapecio

Ejemplo

Calcular el área y el perímetro del siguiente trapecio:

Área de un polígono regular

n es el número de lados

Ejemplos

Calcular el área y el perímetro de un pentágono regular de 6 cm de lado.

P = 5 · 6 = 30 cm

Calcular el área y el perímetro de un hexágono regular inscrito en una circunferencia de 4 cm de radio.

P = 6 · 4 = 24 cm

Área de un polígono

El área se obtiene triangulando el polígono y sumando el área de dichos triángulos.

A = T₁+ T₂+ T₃+ T₄

Ejemplo

Calcular el área del siguiente polígono:

A = A R + A TP = 11 · 2 + 5 + 13 + 12 = 52 cm
AD = BC; AB = DC

Romboide

A = 11 · 12 + (12 · 5 ) : 2 = 162 cm2

EMPLEAS LA CIRCUNFERENCIA.

CIRCUNFERENCIA.

Rectas y segmentos.

Elementos de la circunferencia

Secantes, cuerdas y tangentes.

La mediatriz de una cuerda pasa por el centro de la circunferencia.

Centro, el punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia;Existen varios puntos, rectas y segmentos, singulares en la circunferencia:

Radio, el segmento que une el centro con un punto cualquiera de la circunferencia;
Diámetro, el mayor segmento que une dos puntos de la circunferencia (necesariamente pasa por el centro);
Cuerda, el segmento que une dos puntos de la circunferencia; (las cuerdas de longitud máxima son los diámetros)
Secante, es la línea que corta a la circunferencia en dos puntos;
Tangente, es la línea que toca a la circunferencia en un sólo punto;
Punto de tangencia, el de contacto de la recta tangente con la circunferencia;
Arco, el segmento curvilíneo de puntos pertenecientes a la circunferencia;
Semicircunferencia, cada uno de los dos arcos delimitados por los extremos de un diámetro.

[editar]

Ángulos en una circunferencia

Ángulo central, si tiene su vértice en el centro de esta. Sus lados contienen a dos radios.Un ángulo, respecto de una circunferencia, pueden ser:

La amplitud de un ángulo central es igual a la del arco que abarca.

Ángulo inscrito, si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados contienen dos cuerdas.

La amplitud de un ángulo inscrito en una semi circunferencia equivale a la mayor parte del ángulo exterior que limita dicha base. (Véase: arco capaz.)

Ángulo semi-inscrito, si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados contienen una cuerda y una recta tangente a la circunferencia. El vértice es el punto de tangencia.

La amplitud de un ángulo semi-inscrito es la mitad de la del arco que abarca.

Ángulo interior, si su vértice está en el interior de la circunferencia.

La amplitud de un ángulo interior es la mitad de la suma de dos medidas: la del arco que abarcan sus lados más la del arco que abarcan sus prolongaciones.

Ángulo exterior, si tiene su vértice en el exterior de la circunferencia.

Longitud de la circunferencia

La longitud $\ell$ de una circunferencia es:

$\ell = \pi \cdot 2r$

donde $r \,$ es la longitud del radio.

Pues $\pi \,$ (número pi), por definición, es el cociente entre la longitud de la circunferencia y el diámetro:

$\pi = \frac {\ell}{2r}$

[editar]Área del círculo delimitado por una circunferencia

$A = \pi \cdot r^2$ El área del círculo delimitado por la circunferencia es:

DESCRIBES LAS RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS PARA RESOLVER TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS.

Definiciones respecto de un triángulo rectángulo

Para definir las razones trigonométricas del ángulo: $\alpha$ , del vértice A, se parte de un triángulo rectángulo arbitrario que contiene a este ángulo. El nombre de los lados de este triángulo rectángulo que se usará en los sucesivo será:

La hipotenusa (h) es el lado opuesto al ángulo recto, o lado de mayor longitud del triángulo rectángulo.
El cateto opuesto (a) es el lado opuesto al ángulo $\alpha$ .
El cateto adyacente (b) es el lado adyacente al ángulo $\alpha$ .

Todos los triángulos considerados se encuentran en el Plano Euclidiano, por lo que la suma de sus ángulos internos es igual a π radianes (o 180°). En consecuencia, en cualquier triángulo rectángulo los ángulos no rectos se encuentran entre 0 y π/2 radianes. Las definiciones que se dan a continuación definen estrictamente las funciones trigonométricas para ángulos dentro de ese rango:

1) El seno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la longitud de la hipotenusa:

$\sin \alpha = \frac {{ \color{ForestGreen}\textrm{opuesto}}} {{ \color{Red}\textrm{hipotenusa}}} = \frac {a} {h}.$

El valor de esta relación no depende del tamaño del triángulo rectángulo que elijamos, siempre que tenga el mismo ángulo $\alpha$ , en cuyo caso se trata de triángulos semejantes.

2) El coseno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la longitud de la hipotenusa:

$\cos \alpha = \frac {{ \color{Blue}\textrm{adyacente}}} {{ \color{Red}\textrm{hipotenusa}}} = \frac {b} {h}.$

3) La tangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la del adyacente:

$\tan \alpha = \frac {{ \color{ForestGreen}\textrm{opuesto}}} {{ \color{Blue}\textrm{adyacente}}} = \frac {a} {b}.$

4) La cotangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la del opuesto:

$\cot \alpha = \frac {{ \color{Blue}\textrm{adyacente}}} {{ \color{ForestGreen}\textrm{opuesto}}} = \frac {b} {a}.$

5) La secante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto adyacente:

$\sec \alpha = \frac {{ \color{Red}\textrm{hipotenusa}}} {{ \color{Blue}\textrm{adyacente}}} = \frac {h} {b}.$

6) La cosecante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto opuesto:

$\csc \alpha = \frac {{ \color{Red}\textrm{hipotenusa}}} {{ \color{ForestGreen}\textrm{opuesto}}} = \frac {h} {a}.$

[editar]Funciones trigonométricas de ángulos notables

	0°	30°	45°	60°	90°
sen	0	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	1
cos	1	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	0
tan	0	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	1	$\sqrt{3}$	$\infty$

Ejercicios:

Ahora empecemos a trabajar ejercicios en donde involucre todas las funciones.

Dado el siguiente Triángulo, encontrar todas las Funciones Trigonométricas en

cada caso que se requiera, o las que hacen falta.

   1. Primero encontraremos el valor de la  ecuación que nos hace falta, en éste caso,    
              
        ya que sabemos que la función de  Coseno relaciona Lado Adyacente sobre 
             
        Hipotenusa, ya conocemos dichos  valores, nos faltaría encontrar Lado   
             
        Opuesto:

    2. Ahora conociendo el  valor que nos hacía falta (b), empezaremos a encontrar
        
        cada una de las funciones que hacen  falta:

  3.  Teniendo todas la Funciones procedemos a graficar:

1. Resolvamos primero la Fracción Mixta

      Multiplicamos 2 x 3 y el resultado  lo sumamos con el 1 dándonos como  resultado 7/2.
             
  2. Ahora encontramos el valor que hace falta:

  Sustituimos valores:

3. Ahora conociendo b, encontramos las funciones correspondientes:

4. Seguidamente graficamos:

Sistema sexagesimal y circular

El sistema sexagesimal es un sistema de numeración en el que cada unidad se divide en 60 unidades de orden inferior, es decir, es su sistema de numeración en base 60. Se aplica en la actualidad a la medida del tiempo y a la de la amplitud de los ángulos. 1 h 60 min 60 s 1º 60' 60'' Operaciones en el sistema sexagesimal Suma 1er paso Se colocan las horas debajo de las horas (o los grados debajo de los grados), los minutos debajo de los minutos y los segundos debajo de los segundos; y se suman. 2o paso Si los segundos suman más de 60, se divide dicho número entre 60; el resto serán los segundos y el cociente se añadirá a los minutos. 3er paso Se hace lo mismo para los minutos. Resta 1er paso Se colocan las horas debajo de las horas (o los grados debajo de los grados), los minutos debajo de los minutos y los segundos debajo de los segundos. 2o paso Se restan los segundos. Caso de que no sea posible, convertimos un minuto del minuendo en 60 segundos y se lo sumamos a los segundos del minuendo. A continuación restamos los segundos. 3er paso Hacemos lo mismo con los minutos. Multiplicación por un número 1er paso Multiplicamos los segundos, minutos y horas (o grados) por el número. 2o paso Si los segundos sobrepasan los 60, se divide dicho número entre 60; el resto serán los segundos y el cociente se añadirán a los minutos. 3er paso · Se hace lo mismo para los minutos. División por un número Dividir 37º 48' 25'' entre 5 1er paso Se dividen las horas (o grados) entre el número. 2o paso El cociente son los grados y el resto, multiplicando por 60, los minutos. 3er paso · Se añaden estos minutos a los que tenemos y se repite el mismo proceso con los minutos. 4o paso Se añaden estos segundos a los que tenemos y se dividen los segundos. Medida compleja Es aquella que expresa distintas clases de unidades: 3 h 5 min 7s 25° 32' 17''. Medida incompleja o simple Se expresa únicamente con una clase de unidades. 3.2 h 5.12º. Paso de medidas complejas a incomplejas Para pasar de medidas complejas a incomplejas hay que transformar cada una de las unidades que tenemos en la que queremos obtener, como resultado final. Pasar a segundos 3 h 36 min 42 s. Paso de medidas incomplejas a complejas Tenemos dos casos: 1 Si queremos pasar a unidades mayores hay que dividir. 7520'' 2 Si queremos pasar a unidades menores hay que multiplicar. El sistema circular. En este sistema se usa como unidad el ángulo llamado "radián". Un radián, es el ángulo cuyos lados comprenden un arco a la circunferencia cuya longitud es igual al radio de la circunferencia. Un radián equivale a 57° 17’ 44.81‘’ Para encontrar la medición de cualquier ángulo utilizamos el transportador, que usualmente está dividido en 360 partes iguales y cada una de esas partes equivalen a un grado, es decir, está en el sistema sexagesimal. Para encontrar qué tantos grados hay en ángulo, utilizando el transportador, se procede como sigue. 1.- Se hace coincidir la referencia y el cero del transportador con el vértice, de tal modo, que la parte horizontal de la referencia, ( ^ ) con el la horizontal del ángulo y el otro lado del ángulo marcará en el transportador la magnitud del mismo.

Razones trigonométricas

Dado un triángulo rectángulo ABC, se definen las razones trigonométricas del ángulo $\alpha \,$ , de la siguiente manera:

El seno (abreviado como sen, o sin por llamarse "sinus" en latín) es la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa:

$sen \, \alpha= \frac{a}{c} = \frac{\overline{CB}}{\overline{AB}}$

El coseno (abreviado como cos) es la razón entre el cateto adyacente (o contiguo) y la hipotenusa:

$cos \, \alpha= \frac{b}{c} = \frac{\overline{AC}}{\overline{AB}}$

La tangente (abreviado como tan o tg) es la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente:

$tg \, \alpha= \frac{a}{b} = \frac{\overline{CB}}{\overline{AC}}$

Razones trigonométricas recíprocas

Las razones trigonométricas inversas se definen de la siguiente manera:

La cosecante (abreviado como csc o cosec), razón recíproca del seno:

$cosec \, \alpha= \frac{1}{sen \, \alpha} = \frac{c}{a}$

La secante (abreviado como sec), razón recíproca del coseno:

$sec \, \alpha= \frac{1}{cos \, \alpha} = \frac{c}{b}$

La cotangente (abreviado como cot), razón recíproca de la tangente:

$cot \, \alpha= \frac{1}{tg \, \alpha} = \frac{b}{a}$

Resolución de triángulos rectángulos

Resolver un triángulo es hallar sus lados, ángulos y área. Es necesario conocer dos lados del triángulo, o bien un lado y un ángulo distinto del recto.

1. Se conocen la hipotenusa y un cateto

Resolver el triángulo conociendo:

a = 415 m y b = 280 m.

sen B = 280/415 = 0.6747 B = arc sen 0.6747 = 42° 25′

C = 90° - 42° 25′ = 47° 35′

c = a cos B c = 415 · 0.7381 = 306. 31 m

2. Se conocen los dos catetos

Resolver el triángulo conociendo:

b = 33 m y c = 21 m .

tg B = 33/21 = 1.5714 B = 57° 32′

C = 90° − 57° 32′ = 32° 28′

a = b/sen B a = 33/0.8347 = 39.12 m

3. Se conocen la hipotenusa y un ángulo agudo

Resolver el triángulo conociendo:

a = 45 m y B = 22°.

C = 90° - 22° = 68°

b = a sen 22° b = 45 · 0.3746 = 16.85 m

c = a cos 22° c = 45 · 0.9272 = 41.72 m

4. Se conocen un cateto y un ángulo agudo

Resolver el triángulo conociendo:

b = 5.2 m y B = 37º

C = 90° - 37° = 53º

a = b/sen B a = 5.2/0.6018 = 8.64 m

c = b · cotg B c = 5.2 · 1.3270 = 6. 9 m

domingo, 14 de abril de 2013

Clasificación de los triángulos

Por las longitudes de sus lados

Por las longitudes de sus lados, todo triángulo se clasifica:

Por la amplitud de sus ángulos

Clasificación según los lados y los ángulos

Fórmulas del teorema de Thales y semejanza de triángulos Teorema de Thales Si dos rectas cuales quieras se cortan por varias rectas paralelas, los segmentos determinados en una de las rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra.

Fórmulas del teorema de Thales y semejanza de triángulos

Teorema de Thales

Si dos rectas cuales quieras se cortan por varias rectas paralelas, los segmentos determinados en una de las rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra.

Criterios de semejanza de triángulos

Criterios de semejanza de triángulos rectángulos

Teorema de Pitágoras

Empleo del teorema de Pitágoras

Conociendo los lados de un triángulo, averiguar si es rectángulo

Conociendo los dos catetos calcular la hipotenusa

Conociendo la hipotenusa y un cateto, calcular el otro cateto

Ejercicios

Polígonos

Un polígono es una figura plana con lados rectos.

¿Es un polígono?

Tipos de polígonos

Simple o complejo

Cóncavo o convexo

Regular o irregular

Más ejemplos

Nombres de polígonos

Elementos de un polígono

Lados

Vértices

Ángulos interiores de un polígono

Suma de ángulos interiores de un polígono

Diagonal

Número de diagonales de un polígono

Ángulo central de un polígono regular

Ángulo central de una circunferencia

Ángulos interiores de polígonos

Un ángulo interior es un ángulo dentro de una figura.

Triángulos

Los ángulos interiores de un triángulo suman 180°

90° + 60° + 30° = 180°

80° + 70° + 30° = 180°

Cuadriláteros (cuadrados, etc.)

90° + 90° + 90° + 90° = 360°

80° + 100° + 90° + 90° = 360°

Los ángulos interiores de un cuadrilátero suman 360°

Porque en un cuadrado hay dos triángulos

Pentágono

La regla general

Ejemplo: ¿Qué pasa con un decágono (10 lados)?

Ángulos de un polígono regular

Ángulo central de un polígono regular

Ángulo interior de un polígono regular

Ángulo exterior de un polígono regular

Área del triángulo

Cuadrado

Ejemplo

Rectángulo

Ejemplo

Rombo

Ejemplo

Área del romboide

Ejemplo

Área del trapecio

Ejemplo

Área de un polígono regular

Ejemplos

Área de un polígono

Ejemplo

Elementos de la circunferencia

[editar]

Ángulos en una circunferencia

Longitud de la circunferencia

[editar]Área del círculo delimitado por una circunferencia

El área del círculo delimitado por la circunferencia es:

DESCRIBES LAS RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS PARA RESOLVER TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

Definiciones respecto de un triángulo rectángulo

[editar]Funciones trigonométricas de ángulos notables

Sistema sexagesimal y circular

Razones trigonométricas

Fórmulas del teorema de Thales y semejanza de triángulos

Teorema de Thales

Si dos rectas cuales quieras se cortan por varias rectas paralelas, los segmentos determinados en una de las rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra.

$A = \pi \cdot r^2$ El área del círculo delimitado por la circunferencia es: